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Sobre a Disciplina

… When Columbus set sail, he was like an applied mathematician, paid for the search of the solution of a concrete problem: find a way to India. His discovery of the New World was similar to the work of a pure mathematician…”  Vladimir Arnol’d

fonte: Notices of AMS, Volume 44, Number 4 (1997)

Professor Responsável: Nelson Faustino (DMA-IMECC, Sala 126)    |   faustino[at]ime[dot]unicamp[dot]br.

PAD: Wagner Alan  |  w118955[at]dac[dot]unicamp[dot]br

Turmas: MA044-X / MA044-Z

Objetivos da disciplina:

  1. Estudar conceitos que envolvam funções de variável complexa sob o ponto de vista algébrico, geométrico e analítico.
  2. Ilustrar interligações com outras áreas da matemática, tendo como base a integração no plano de Argand-Gauss, a representação em série de funções analíticas (séries de Taylor e de Laurent) e na aplicação de transformações conformes.
  3. Munir os alunos de um conhecimento de base sólido que possa ser aplicado na modelagem e na resolução de problemas.
  4. Treinar a capacidade de desenvolvimento de raciocínios lógico-dedutivos e a intuição física e geomêtrica com vista à utilização futura dos conhecimentos adquiridos em outras áreas do saber.

Conteúdos:

    1. Números Complexos. O corpo dos números complexos- representações algébrica e trigonométrica de número complexo; Plano de Argand-Gauss; Radiciação e polinômios; Topologia no plano de Argand-Gauss; Transformações fracionárias lineares [aprox. 5 aulas]
    2. Funções de Variável Complexa. Funções elementares — Função exponencial; Funções trigonométricas e hiperbólicas; Função logaritmo; Função potência; Inversão de funções elementares; Limites, continuidade e diferenciabilidade — funções deriváveis e funções analíticas; Equações de Cauchy – Riemann; Interpretação física de derivada — linhas equipotenciais, linhas de corrente, campo de velocidade e pontos de estagnação. [aprox. 5 aulas]
    3. Integração no Plano de Argand-Gauss. Integrais de contorno e primitivas — definições, propriedades e interpretação geomêtrica; Interpretação física– trabalho, fluxo de uma corrente e campo conservativo; Teorema de Cauchy e fórmula integral de Cauchy; Teorema de Morera e suas conseqüências. [aprox. 3 aulas]
    4. Representação em Série de Funções Analíticas. Sucessões e séries de funções–séries de potências e raio de convergência; Teorema de Taylor; Teorema de unicidade e o conceito do prolongamento analítico; Funções inteiras e suas conseqüências –Teorema Fundamental da álgebra  [aprox. 4 aulas]
    5. Aplicações*.  Superfícies de Riemann; Problemas de contorno; Método das transformações conformes; Método da aerodinâmica de Joukowski [aprox. 3 aulas]
    6. Singularidades. Classificação de singularidades; Teorema de Laurent; Funções meromorfas; Lema de Jordan; Princípio de Rotação; Teorema de Rouché. [aprox. 3 aulas]
    7. Resíduos. Teorema dos resíduos e suas conseqüências- aplicações ao cálculo de integrais de variável real; Transformada de Fourier; Transformada de Laplace. [aprox. 4 aulas]
    8. Funções harmônicas*: Funções harmônicas conjugadas; Problema de Dirichlet; Equivalência entre o Problema de Dirichlet e o Teorema de Riemann [aprox. 3 aulas]

Obs:

  • Os conteúdos da disciplina de MA044 foram desenhados para as turmas X e Z de acordo com a ementa disponível no site da DAC.
  • Os items 5. e 8. da Ementa (marcados com *) são de caráter optativo. Serão apenas lecionados caso haja tempo.

Bibliografia Recomendada:

  1. J.W. Brown and R.V. Churchill, Complex Variables and Applications (8th ed.), New York: McGraw-Hill, 2008.
  2. E.C. de Oliveira e W. A. Rodrigues Jr, Funções analíticas e aplicações (1ª ed.), São Paulo: Livraria da Física, 2006.
  3. J. Mathews and R. Howell, Complex analysis for mathematics and engineering, Ontário: Jones & Bartlett Publishers, 2006.
  4. T. Needham, Visual complex analysis, Oxford: Clarendon Press, 1998.

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